Upload

QA #1 Equations, Expressions and Inequalities

background image

Questions and Answers Sheet 1

 

Equations, Expressions and Inequalities  

Question #1 

Proof of triangle inequality 
 
I understand intuitively that this is true, but I'm embarrassed to say I'm having a hard time constructing a 
rigorous proof that 

|𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|

.

 

Answer: 

From your definition of the absolute value, establish first 

|𝑥| = max{𝑥 , −𝑥} 𝑎𝑛𝑑  ± 𝑥 ≤ |𝑥|

.  

Then you can use  

𝑎 + 𝑏 − 𝑎 − 𝑏 ≤ |𝑎| + 𝑏 ≤ |𝑎| + |𝑏|

,and 

≤ |𝑎| − 𝑏 ≤ |𝑎| + |𝑏|

 

Question #2 

Solve, please:  

2𝑥 = 𝑥

2

  

Answer: 

Collect terms to 

1

 side and equate to zero. 

Thus,  

𝑥

2

− 2𝑥 = 0

  

There is a common factor 

𝑥

, so we have 

𝑥(𝑥 − 2) = 0

 

Hence, 

𝑥 = 0 𝑜𝑟 𝑥 − 2 = 0  →  𝑥 = 2

 

The answer is 

0

 and 

2

 

Question #3 

a) The proportion to represent the number of girls in the school. 

Given: 

At a school, the school population is  

2

5

  boys and there are 

450

 students at the school who are boys. 

b) The steps to solve the equations. 

c) The number of girls in school. 

Given: 

The population,  

2

5

𝑥 = 450

  

Answer: 

a) Concept used: 

Rules of Addition/Subtraction: 

- Two numbers with similar sign always get added and the resulting number will carry the similar sign.  

- Two numbers with opposite signs always get subtracted and the resulting number will carry the sign of 

larger number. 

background image

Rules of Multiplication/Division: 

- The product/quotient of two similar sign numbers is always positive. 

- The product/quotient of two numbers with opposite signs is always negative. 

Calculation: 

In order to find proportion to represent the number of girls in the school, observe the that the proportion of 

boys is  

2

5

 , so subtract it from 

1

 and similify further as: 

 

1 −

2

5

=

5

5

2

5

  

 

=

5−2

5

  

 

=

3

5

  

Thus, the proportion of girls in school is  

3

5

 . 

 

Question #4 

Find a Cartesian equation for the curve and identify it. 

 

𝑟

2

cos(2θ) = 1

  

Answer: 

Step 1 

Given: 

The polar equation 

 

𝑟

2

cos(2θ) = 1

  

Step 2  

Consider, 

 

𝑟

2

cos(2θ) = 1

  

 

𝑟

2

(cos

2

θ − sin

2

θ) = 1

   

(∵ cos(2θ) = cos

2

θ − sin

2

θ)

  

Consider the parametric equation 

 

𝑥 = 𝑟 cos

  

 

𝑦 = 𝑟 sin

  

The implies, 

 

𝑥

𝑟

= cos

  

 

𝑦

𝑟

= sin

  

Then, 

 

(

𝑥

𝑟

)

2

= cos

2

  

 

(

𝑦

𝑟

)

2

= sin

2

  

Step 3 

Substitute  

(

𝑥

𝑟

)

2

= cos

2

𝜃, (

𝑦

𝑟

)

2

= sin

2

𝜃 𝑖𝑛 𝑟

2

(cos

2

θ − sin

2

θ) = 1

  

𝑟

2

((

𝑥

𝑟

)

2

− (

𝑦

𝑟

)

2

) = 1

  

 

𝑟

2

(

𝑥

2

𝑟

2

𝑦

2

𝑟

2

) = 1

  

background image

 

𝑟

2

(

1

𝑟

2

(𝑥

2

− 𝑦

2

)) = 1

  

 

𝑥

2

− 𝑦

2

= 1

  

Therefore, the Cartesian equation of  

𝑟

2

cos(2θ) = 1 𝑖𝑠 𝑥

2

− 𝑦

2

= 1

  

 

Question #5 

If  

𝑃(0 < 𝑧 < 𝑘) = 3212

  find and solve k. 

Answer: 

Solving: 

 

𝑃(0 < 𝑧 < 𝑘) = 0.3212

  

 

⇒ 𝑃(𝑧 > 𝑘) − 𝑃(𝑧 < 0) = 0.3212

  

using z-table, we get 

 

⇒ 𝑃(𝑧 < 𝑘) − 0.5000 = 0.3212

  

 

⇒ 𝑃(𝑧 < 𝑘) = 0.3212 + 0.5000

  

 

⇒ 𝑃(𝑧 < 𝑘) = 0.0.8212

  

using z-table, we get 

 

𝑃(𝑧 < 0.92) = 0.8212

 

 

𝑘  =  0.92

  

 

Question #6 

Write the first expression in terms of the second if the terminal point determined by t is in the given 

quadrant.  

tan 𝑡 , 𝑐𝑜𝑠

; Quadrant III 

Answer: 

We are given  

 𝑡𝑎𝑛

  and need to rewrite the expression in terms of 

  𝑐𝑜𝑠

 . 

Using the reciprocal identity, we get  

tan 𝑡 =

sin 𝑡

cos 𝑡

  so we need to rewrite the sine in terms of cosine. 

Using the Pythagorean Identity, we get: 

 

sin

2

𝑡 + cos

2

𝑡 = 1

  Pythagorean Identity. 

 

sin

2

𝑡 = 1 − cos

2

 

task Subtract  

 cos

2

 task on both sides. 

 

sin 𝑡 = ±√1 − cos

2

𝑡

  Square root both sides. 

Since t lies in Quadrant lll, then  

sin 𝑡 < 0 

 so we need to use the negative root. Therefore, 

 

tan 𝑡 =

sin 𝑡

cos 𝑡

=

−√1−cos

2

𝑡

cos 𝑡

  

Result:  

tan 𝑡 = −

√1−cos

2

𝑡

cos 𝑡

  

 

Question #7 

is  

sin

2

𝑥

  equal to  

sin 𝑥

2

 ? 

Answer: 

 

sin

2

𝑥

  is NOT equal to  

sin 𝑥

2

 . 

The easiest way to show that they are not equal is to evaluate both expressions for a nonzero value of 

𝑥

background image

For example, we will evaluate both expressions at  

𝑥 = 90

  (similar for x-values in radians). 

 

sin

2

90

= (sin 9 0

)

2

= 1

2

= 1

  

 

sin(90

)

2

= sin 8 100

= sin(45 × 180

) = sin 1 80

= 0

  

We then note that the two expressions cannot be equal, because one expression becomes

 1

 and the 

other 

0

 at  

𝑥 = 90

 . 

Note: If you ever doubt if an equality is true, it is always useful to check for a few values of 

𝑥

 to be sure. 

 

Question #8 

What quantum numbers specify these subshells:  

1𝑠 4𝑝 5𝑑  ⋯ 𝑛 =?  𝑙 =?

  

Answer:

 

Step 1 

The principal quantum number 

(𝑛)

 for 

1𝑠

 is 

1

 and the azimuthal quantum number 

(𝑙)

 for 

1𝑠

 is 

0

.  

Calculate the range of azimuthal quantum number 

(𝑙)

as follows: 

 

𝑙 = 𝑛 − 1

  

Substitute 1 for n in the above equation for the calculation of l as follows: 

 

𝑙 = 1 − 1

  

 

= 0

  

The value of 

𝑛 

is 

1

 and 

𝑙 

is 

for the 

1𝑠

 orbital. 

The principal quantum number 

(𝑛)

 defines the shell of the orbital. For 

1𝑠

, the shell is 

1

.  

The azimuthal quantum number 

(𝑙)

 defines the subshell of the orbital. It is calculated as the difference 

between the 

𝑛

 and 

1

. For 

1𝑠

, the subshell is 

0

Step 2 

The principal quantum number 

(𝑛)

 for 

4𝑝

 is 

4.

 Calculate the range of azimuthal quantum number 

(𝑙)

 as 

follows: 

 

𝑙 = 𝑛 − 1

  

Substitute 4 for n in the above equation for the calculation of l as follows: 

 

𝑙 = 4 − 1

  

 

= 3

  

The value of 

𝑙

 for 

4𝑝

 lies between 

0, 1, 2, 3

 . For 

𝑝

 orbital, the value of

 𝑙

 is 

1

. Therefore, the azimuthal 

quantum number 

(𝑙)

 for 

4𝑝

 is 

1

The value of 

𝑛

 is 

4

 and 

𝑙 

is 

for the 

4𝑝

 orbital. 

The principal quantum number 

(𝑛)

 defines the shell of the orbital. For 

4𝑝

, the shell is 

4

. The azimuthal 

quantum number 

(𝑙)

 defines the subshell of the orbital. It is calculated as the difference between the 

𝑛 

and 

1

. For 

4𝑝

 orbital, the value of l can be

 0, 1, 2, 3

. The orbital is 

𝑝

. For p orbital, the azimuthal quantum 

number is 

1

. Therefore, for 

4𝑝

 orbital,

 𝑙

 is 

1

Step 3 

The principal quantum number 

(𝑛)

 for 

5𝑑

 is 

5.

 Calculate the range of azimuthal quantum number 

(𝑙)

 as 

follows: 

 

𝑙 = 𝑛 − 1

  

Substitute 

5

 for n in the above equation for the calculation of l as follows: 

 

𝑙 = 5 − 1

  

background image

 

= 4

  

The value of 

𝑙

 for 

5𝑑

 lies between 

0,1,2,3,4

. For d orbital, the value of

 𝑙 

is 

2

. Therefore, the azimuthal 

quantum number 

(𝑙)

 for 

5𝑑

 is 

2

The value of

 𝑛

 is 

5

 and 

𝑙

 is 

for the 

5𝑑

 orbital. 

The principal quantum number 

(𝑛)

 defines the shell of the orbital. For 

5𝑑

, the shell is 

5

.  

The azimuthal quantum number 

(𝑙)

 defines the subshell of the orbital. It is calculated as the difference 

between the 

𝑛 

and 

1

.  

For 

5𝑑

 orbital, the value of 

𝑙

 can be

 0, 1, 2, 3, 4

. The orbital is 

𝑑

. For 

𝑑

 orbital, the azimuthal quantum 

number is 

2

. Therefore, for 

5𝑑

 orbital,

 𝑙

 is 

2

 

Question #9 

For Exercise, solve the equations and inequalities. Write the solution sets to the inequalities in interval 

notation. 

 

3𝑥(𝑥 − 1) = 𝑥 + 6

  

Answer: 

Concept used: 

Quadratic Formula 

 

𝑎𝑥

2

+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

  

 

𝑥 =

−𝑏±√𝑏

2

−4𝑎𝑐

2𝑎

  

Now, Solving the equation 

 

3𝑥(𝑥 − 1) = 𝑥 + 6

  

 

3𝑥

2

− 3𝑥 = 𝑥 + 6

  

 

3𝑥

2

− 3𝑥 − 𝑥 − 6 = 0

  

 

3𝑥

2

− 4𝑥 − 6 = 0

  

Now  

𝑥 =

−𝑏±√𝑏

2

−4𝑎𝑐

2𝑎

  

Here,  

𝑎 = 3, 𝑏 = −4, 𝑐 = −6

  

Then,  

𝑥 =

−(−4)±√(−4)

2

−4×3×(−6)

2×3

  

 

𝑥 =

4±√16+72

6

  

 

𝑥 =

4±√88

6

  

 

𝑥 =

4±2√22

6

  

 

𝑥 =

2±√22

3

  

Answer: Hence, the values of 

𝑥

 are 

 

𝑥 =

2+√22

3

 𝑎𝑛𝑑 𝑥 =

2−√22

3

 

 

Question #10 

For Exercise, solve the equations and inequalities. Write the solution sets to the inequalities in interval 

background image

notation. 

 

log

2

(3𝑥 − 1) = log

2

(𝑥 + 1) + 3 

 

 

Answer: 

Property used: 

Property 

1

log

2

(𝑚) − log

2

(𝑛) = log

2

(

𝑚

𝑛

)

  

Now to simplifying the given equation: 

 

log

2

(3𝑥 − 1) = log

2

(𝑥 + 1) + 3

  

log

2

(3𝑥 − 1) − log

2

(𝑥 + 1) = 3

 

 

log

2

(

3𝑥−1

𝑥+1

) = 3

  [Using Property 1.] 

Now taking antilog 2 and solving: 

 

(

3𝑥−1

𝑥+1

) = 2

3

  

 

(3𝑥 − 1) = 8(𝑥 + 1)

  

 

(3𝑥 − 1) = 8𝑥 + 8

  

 

3𝑥 − 8𝑥 = 8𝑥 + 1

  

 

−5𝑥 = 9 

 

 

𝑥 = −

9

5

  

Since, 

The solution does not satisfy the given equation. 

Hence there is no solution for  

𝑥  ∈ 𝑅

 .

 

 

Question #11 

For Exercise, solve the equations and inequalities. Write the solution sets to the inequalities in interval 

notation. 

 

(𝑥

2

− 9)

2

− 2(𝑥

2

− 9) − 35 = 0

 

Answer: 

Now, Solving the equation 

 

(𝑥

2

− 9)

2

− 2(𝑥

2

− 9) − 35 = 0{∵ (𝑎 − 𝑏)

2

= 𝑎

2

− 2𝑎𝑏 + 𝑏

2

}

  

 

𝑥

4

+ 81 − 18𝑥

2

− 2𝑥

2

+ 18 − 35 = 0

  

 

𝑥

4

− 20𝑥

2

+ 64 = 0

  

Let 

𝑡 = 𝑥

2

   

Then, 

 

𝑡

2

− 20𝑡 + 64 = 0

  

 

𝑡

2

− (16 + 4)𝑡 + 64 = 0

  

 

𝑡

2

− 16𝑡 − 4𝑡 + 64 = 0

  

 

𝑡(𝑡 − 16) − 4(𝑡 − 16) = 0

  

 

(𝑡 − 16)(𝑡 − 4) = 0

 

 

𝑡 = 16 

 and 

 𝑡 = 4

  

background image

Now, Substitute  

𝑡 = 𝑥

2

  

So,  

𝑥

2

= 16

  and  

𝑥

2

= 4

  

 

𝑥 = ±4

  and  

𝑥 =   ±2

  

Answer: Hence, the values of 

𝑥

 are 

 

𝑥 = 4, 𝑥 = −4, 𝑥 = 2

  and  

𝑥 = −2 

 

 

Question #12 

Statement showing a relationship between numbers that are not necessarily equal using the symbols  

>

, <, ≤, ≥, 𝑜𝑟  ≠

  are called _. 

1) inferences 

2) inconsistencies 

3) unequals 

4) inequalities 

Answer: 

Step 1 

Given:  

Statements showing a relationship between numbers that are not necessarily equal using the symbols  

>

, <, ≥, ≤ 𝑜𝑟  ≠

  

Step 2 

Explanation:  

Equation: An equation is a mathematical statement that two things are equal. It consists of two 

expressions, one on each side of an 'equals' sign. For example:  

 

15 = 9 + 6

   

The most basic and common algebraic equations in math consist of one or more variables. For instance,  

2𝑥 + 6 = 14

  is an equation  

Inequalites:  

An inequality is a mathematical relationship between two expressions that are not equal.  

It can be represented using one of the following:  

 

≤:  

 ''less than or equal to''  

<: ''less than'' 

 

 : ''not equal to''  

>: ''greater than''  

 

≥:

  ''greater than or equal to''  

Step 3  

Answer: The Statements showing a relationship between numbers that are not necessarily equal using 

the symbols 

 >, <, ≥, ≤ 𝑜𝑟  ≠

  are called Inequalities 

 

Question #13 

For Exercise, solve the equations and inequalities. Write the solution sets to the inequalities in  

intervalnotation.  

background image

 

5 ≤ 3 + |2𝑥 − 7|

  

Answer: 

Step 1 

Simplify the given expression as follows. 

 

3 + |2𝑥 − 7| ≥ 5

  

 

3 + |2𝑥 − 7| − 3 ≥ 5 − 3

  (subtract 3 frpm both sides) 

 

|2𝑥 − 7| ≥ 2

  

Step 2 

By the absolute rule, if  

|𝑢| ≥ 𝑎, 𝑎 > 0

  then  

|𝑢| ≤ −𝑎 𝑛𝑑 |𝑢| ≥ 𝑎

 

2𝑥 − 7  ≤ −2

  and  

2𝑥 − 7  ≥ 2

  (by absolute rule) 

 

2𝑥 − 7 + 7  ≤ −2 + 7

  and  

2𝑥 − 7 + 7  ≥ 2 + 7

  (add 7 on both sides) 

 

2𝑥  ≤ 5 

 and  

2𝑥  ≥ 9

  

2𝑥

2

5

2

  and  

2𝑥

2

9

2

  (divide by 2 on both sides) 

 

𝑥 ≤

5

2

  and  

𝑥 ≥

9

2

  

Therefore, the solution set of the given inequality is  

(−∞,

5

2

] ⋃ [

9

2

, ∞)

 . 

 

Question #14 

For exercise, solve the equations and inequalities. Write the solutions sets to the inequalities in interval 

notation if possible. 

 

−5 ≤ −

1

4

𝑥 + 3 <

1

2

  

Answer: 

Given inequality i 

 

−5 ≤ −

1

4

𝑥 + 3 <

1

2

  

Multiplying both sides by 4, we get 

 

−20  ≤ −𝑥 + 12 < 2

  

 

−20 − 12  ≤ −𝑥 < 2 − 12

  

 

−32  ≤ −𝑥 < −10

 ZS 

Now, multiplying both sides by 

−1

 and using result that if  

𝑎 < 𝑏

  then  

−𝑏 < −𝑎

 , we get 

 

10  ≤ 𝑥 < 32

  

Therefore, solution is 

 

𝑥 ∈ [10,32)

  

Ans: Solution to inequality is 

 

𝑥 ∈ [10,32)

  

 

Question #15 

For exercise, solve the equations and inequalities. Write the solutions sets to the inequalities in interval 

notation if possible. 

background image

 

3−𝑥

𝑥+5

≥ 1

  

Answer: 

Step 1 

The given inequality is  

3−𝑥

𝑥+5

≥ 1

  

Step 2 

Solution: 

We can also rewrite as 

 

3 − 𝑥  ≥ 𝑥 + 5

  

Substract 5 on both sides, we have 

 

3 − 𝑥 − 5  ≥ 𝑥 + 5 − 5

  

 

−2 − 𝑥  ≥ 𝑥

  

Add x on both sides, we have 

 −2 − 𝑥 + 𝑥  ≥ 𝑥 + 𝑥

  

 −2  ≥ 2𝑥

  

Now divide each term by 2 

−2

2

2𝑥

2

 

 

−2

2

≥ 𝑥

  

 

−1  ≥ 𝑥

  

i.e.  

𝑥  ≤ −1

  

Therefore, the interval notation for x is  

[−1, ∞)

  

 

Question #16 

For exercise, solve the equations and inequalities. Write the solutions to the inequalities in interval 

notation if possible. 

 

1

2

≤ −

1

4

𝑥 − 5 < 2

  

Answer: 

Given: 

Rule used 

If  

𝑎  ≤ 𝑢  <  𝑏

  then  

𝑎  ≤ 𝑢

  and  

𝑢 < 𝑏

  

Calculation: 

by using above rule 

 

1

2

≤ −

1

4

𝑥 − 5

  and  

1

4

𝑥 − 5 < 2

  

now,  

1

2

+ 5 ≤ −

1

4

𝑥 − 5 + 5

  

 

1

2

+ 5 ≤ −

1

4

𝑥

  

 

9

2

≤ −

1

4

𝑥

  

 

9

2

(−4) ≤ −

1

4

𝑥(−4)

  

background image

 

 

−8  ≥ 𝑥

  

 

𝑥  ≤ −18

  

And  

1

4

𝑥 − 5 + 5 < 2 + 5

  

 

1

4

𝑥 < 7

  

 

1

4

𝑥(−4) < 7(−4)

  

 

𝑥 ≻ 28

  

Thus, the solution set of the inequality is  

(−28, −18]

  

 

Question #17 

Solve the following rational equations and rational inequalities. Show your complete solution. 1.  

𝑥/𝑥 −

3 + 6/𝑥 + 3 = 1

  

Answer: 

Our Aim is to solve the following rational and rational inequalities: - 

Considering question 

−(1),

 we have: - 

 

𝑥

𝑥−3

+

6

𝑥+3

= 1 − (𝑖)

  

Considering equation 

−(𝑖)

 we have: - 

 

𝑥

𝑥−3

+

6

𝑥+3

= 1

  

 

𝑥(𝑥+3)+6(𝑥−3)

𝑥

2

−9

= 1

  

 

⇒ 𝑥

2

+ 3𝑥 + 6𝑥 − 18 = 𝑥

2

− 9

  

 

⇒ 9𝑥 − 18 = −9

  

 

⇒ 9𝑥 = −9 + 18

  

 

⇒ 9𝑥 = 9

  

Answer  

⇒ 𝑥 = 1

  

 

Question #18 

For exercise, solve the equations and inequalities. Write the solutions sets to the inequalities in interval 

notation if possible. 

 

 

√𝑡 − 1 − 5

 1  

Answer: 

Step 1 

Under the square root, we can not have a negative number so: 

 

𝑡 − 1  ≥ 0

  

 

𝑡  ≥ 1

  

Step 2 

Then we solve the inequality 

background image

 

√𝑡 − 1 − 5 ≤ 1

  

 

√𝑡 − 1 ≤ 5 + 1

  

 

√𝑡 − 1 ≤ 6

  

 

(√𝑡 − 1)

2

≤ 6

2

  

 

𝑡 − 1  ≤ 36 

 

 

𝑡  ≤ 36 + 1

  

 

𝑡  ≤ 37

  

Answer: 

[1,37]

 

 

Question #19 

For exercise, solve the equations and inequalities. Write the solutions sets to the inequalities in interval 

notation if possible. 

 

 

1

𝑥

2

−14𝑥+40

≤ 0

  

Answer: 

Step 1: Analysis 

Given: 

 

1

𝑥

2

−14𝑥+40

≤ 0

  

To determine the solution sets of the given inequality. 

Step 2: Simplification 

Factorising the term  

𝑥

2

− 14𝑥 + 40

 . 

Let  

𝑝(𝑥) = 𝑥

2

− 14𝑥 + 40

  

 

𝑝(𝑥) = 𝑥

2

− 14𝑥 + 40

  

 

= 𝑥

2

− 4𝑥 − 10𝑥 + 40

  

 

= 𝑥(𝑥 − 4) − 10(𝑥 − 4)

  

 

= (𝑥 − 10)(𝑥 − 4)

  

when  

𝑥 = 10,4. 𝑝(𝑥) = 0

  

when  

𝑥 ∈ (−∞, 4). 𝑝(𝑥) > 0

  

when  

𝑥 ∈ (4,10). 𝑝(𝑥) < 0

  

when  

𝑥 ∈ (10, ∞). 𝑝(𝑥) > 0

  

Step 3: Solution 

For  

1

𝑥

2

−14𝑥+40

≤ 0

 . 

 

𝑥

2

− 14𝑥 + 40

  should be less than 0. 

 

𝑥

2

− 14𝑥 + 40 < 0

  when  

𝑥 ∈ (4,10)

  

Therefore, the solution set of the given inequality is 

(4,10)

 

 

Question #20 

For exercise, solve the equations and inequalities. Write the solutions sets to the inequalities in interval 

notation if possible. 

background image

 

√𝑚 + 4

4

− 5 = −2

  

 

Answer: 

Step 1 

Given: Equation below: 

 

√𝑚 + 4

4

− 5 = −2

 

To find: Solve for m 

Step 2 

Solution: 

Add 5 on both sides of equation 

 

⇒ √𝑚 + 4

4

= −2 + 5 = 3

  

Take 4th power on both sides: 

 

⇒ ((𝑚 + 4)

1/4

)

4

= 3

4

  

 

⇒ 𝑚 + 4 = 81

  

Subtract 4 on both sides: 

 

⇒ 𝑚 = 81 − 4 = 77

  

Verification: 

Substitute 

 𝑚 = 77

  in the given equation: 

(77)

1/4

− 5 = −2

 

 

⇒ (81)

1/4

− 5 = −2

  

 

⇒ (3

4

)

1/4

− 5 = −2

  

 

⇒ 3 − 5 = −2

  

Step 3  

Answer:  

 𝑚 = 77

  

of 12