Upload

QA #1 Factors and Multipless

background image

Questions and Answers Sheet 1

 

                                  Factors and Multiples 

 

Question #1 

What is  

∂𝑥

𝑖

(𝑥

𝑖

!)

  where  

𝑥

𝑖

  is a discrete variable? 

Do you consider  

(𝑥

𝑖

!) = (𝑥

𝑖

)(𝑥

𝑖

− 1) ⋯ 1

 and do product rule on each term, or something else? 

Answer: 

Step 1 
The derivative of a function of a discrete variable doesn't really make sense in the typical calculus setting. 
However, there is a continuous variant of the factorial function called the  

𝛾

  function, for which you can 

take derivatives and evaluate the derivative at integer values. 
In particular, since  

𝑛! = 𝛾(𝑛 + 1)

 , there is a nice formula for  

γ

  at integer values: 

 

γ

(𝑛 + 1) = 𝑛! (−γ + ∑

1

𝑘

𝑛

𝑘=1

)

  

where  

𝛾

  is the Euler-Mascheroni constant. 

Step 2 
As has been mentioned, the Gamma function  \gamma(x)  is the way to go. 
Integration by parts yields 

 

𝛾(𝑥) = ∫ 𝑒

−𝑡

0

𝑡

𝑥−1

𝑑𝑡

  

 

= (𝑥 − 1) ∫ 𝑒

−𝑡

0

𝑡

𝑥−2

𝑑𝑡

  

 

= (𝑥 − 1)𝛾(𝑥 − 1)

  

Taking the derivative of the logarithm of  

𝛾(𝑥)

  gives 

 

γ

(𝑥)

γ(𝑥)

=

1

𝑥−1

+

γ

(𝑥−1)

γ(𝑥−1)

  

Because  

𝛾(𝑥)

  is log-connvex and 

 

lim

𝑥⇒∞

γ

(𝑥)

γ(𝑥)

− log(𝑥) = 0

  

we get that 

 

γ

(𝑥)

γ(𝑥)

= −𝛾 + ∑

(

1

𝑘

1

𝑘+𝑥−1

)

𝑘=1

  

For integer  

𝑛,  ! = 𝛾(𝑛 + 1)

, so the derivative is 

 

𝛾(𝑛 + 1) = 𝛾(𝑛 + 1) (−γ + ∑

𝑛

𝑘(𝑘+𝑛)

𝑘=1

)

  

 

= 𝑛! (−γ + 𝐻

𝑛

)

  

where  

𝐻

𝑛

  is the  

𝑛

𝑡ℎ

  Harmonic Number (with the convention that  

𝐻

0

= 0

)

 

Question #2 

How do you evaluate  

7𝐶

2

  ?

 

Answer: 

Explanation: 

 

𝑛𝐶𝑟 = ((𝑛), (𝑟)) =

𝑛!

𝑟!(𝑛−𝑟)!

  

 

𝑛𝐶𝑟 = ((7), (2)) =

7!

2!(7−2)!

=

7!

2!⋅5!

=

5040

2⋅120

=

5040

2040

= 21

 

 

Question #3 

How do you factor  

𝑦 = 𝑥

3

− 2𝑥

2

+ 𝑥 − 2

 ?

 

Answer: 

 

(𝑥 − 2)(𝑥 + 𝑖)(𝑥 − 𝑖)

  

Explanation: 

background image

factor the terms by grouping 

 

= 𝑥

2

(𝑥 − 2) + 1(𝑥 − 2)

  

take out the common factor  

(𝑥 − 2)

  

 

= (𝑥 − 2)(𝑥

2

+ 1)

  

 

𝑥

2

+ 1

  can be factored using difference of squares 

 

𝑎

2

− 𝑏

2

= (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)

 

with  

𝑎 = 𝑥

  and 

𝑏 = 𝑖 ⇒ (𝑖 = √−1)

  

 

= (𝑥 − 2)(𝑥 + 𝑖)(𝑥 − 𝑖) ⇒ in factored form

 

 

Question #4 

How do you factor  

20𝑥

5

− 5

 

 

Answer: 

 

20𝑥

5

− 5 = 5(4𝑥

2

− 1) = 5(2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)

  

Explanation: 

So we have  

20𝑥

2

− 5 = 5(4𝑥

2

− 1)

 ; dividing thru by 5 

 

5(4𝑥

2

− 1)

  

And  

4𝑥

2

− 1

  is the difference between 2 squares,  

2𝑥 

 and 1 

 

(4𝑥

2

− 1) = (2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)

 

Putting it all together: 

 

20𝑥

2

− 5 = 5(2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)

  

So there are roots at  

±

1

2

 

 

Question #5 

What is the next number in the sequence  

1,2,6,24,120, ⋯ ?

 

 

Answer: 

These are the first 5 factorials (starting at 1!) 

 

1! = 1

  

 

2! = 2  × 1 = 2

   

 

3! = 3  × 2  × 1 = 6

   

 

4! = 4 × 3  × 2  × 1  =  24

   

 

5! = 5  × 4  × 3  × 2  × 1 = 120

   

 

6! = 6  × 5  × 4  × 3  × 2  × 1 = 720

 

 

Question #6 

Use Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of the function subject to the given 

constraint.  

𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 𝑦; 𝑥

2

+ 𝑦

2

= 10

 

 

Answer: 

Step 1 

We first find our gradients of f and g 

 

∇𝑓 =< 3,1 >

  

background image

 

∇𝑔 =< 2𝑥, 2𝑦 >

   

Step 2  

We then set our gradients equal to each other using a LaGrange multiplier. We solve for x 

 3 = 𝜆2𝑥

   

 

3

2𝑥

=

   

 

1 = 𝜆2𝑦

   

1

2𝑦

=

  

 

3

2𝑥

=

1

2𝑦

   

6y=2x  

3y=x  

Step 3  

We plug 3y in for x in our constraint function. This determines what y will be equal too. We find that  

𝑦 =

±1

  . We can plug this back into our LaGrange equation.This yields the points (-3,-1) and (3,1). The signs 

must be the same due to our LaGrange equation. 

 (

3𝑦)^2 + 𝑦^2 = 10 

  

 

10𝑦

2

= 10

  

 

𝑦 = ±1

   

@y=-1 : 3(-1)=-3=x  

@y=1 : 3(1)=3=x  

Step 4  

We plug these into our f(x,y) to find that:  

(3,1) is a maximum  

(-3,-1) is a minimum  

f(-3,-1)=3(-3)-1=-10  

f(3,1)=3(3)+1=10  

result  

Max: 10 at (3,1)  

Min: -10 at (-3,-1) 

Question #7 

Factor 

 

𝑥

3

− 10𝑥

2

+ 29𝑥

 

 

Answer: 

Factor the following: 

 

𝑥

3

− 10𝑥

2

+ 29𝑥

  

Hint: Factor common terms out of  

 

𝑥

3

− 10𝑥

2

+ 29𝑥.

  

Factor x out of  

 

𝑥

3

− 10𝑥

2

+ 29𝑥

:  

background image

Answer:  

 

𝑥(𝑥

2

− 10𝑥 + 29)

 

 

Question #8 

Of the multiples of 2 between 1 and 99, what fraction are also multiples of 3? 

𝐴)

16
99

 

𝐵)

16
49

 

𝐶)

1
3

 

𝐷)

33
49

 

49
99

 

Answer: 

Step 1 

the multiples of 2 between 1 and 99 are the even numbers . 

Therefore, there are 49 even numbers from 1 to 99 

The numbers that are multiple of 2 are 2,4,6,8,10,12,...49 

out of those even numbers, the numbers that are also the multiples of 3 are the numbers that are divisible 

by 3. 

therefore from the set 2,4,6,8,10,12,...49 every third number is multiple of 3. 

therefore, there are 16 such numbers 

Step 2 

therefore, the required fraction is given by 1649 

the answer is 1649

 

Question #9

 

Tim always eats strawberries in multiples of three. Todd eats them in multiples of four and Rick in 

multiples of six. Gavin is not fussy about it but likes cream to go with them. Uncle Sam wants each of the 

four kids to eat the same number of strawberries. What is the minimum number of strawberries that he 

has to give to each kid? 

Select one answer: 

 

𝐴)24 𝐵)6 𝐶)3 𝐷)1 𝐸)12

 

 

Answer:

 

Step 1 

Tim eats multiples of three 

Todd eats multiples of four 

Rick eats multiples of six. 

Gavin is not bussy. 

Thus we have numbers to work with 3,4,6. 

Step 2 

background image

Therefore, since uncle Sam want to give 

same number of strawberries. 

Then the number  

= 2𝑐𝑚(3,4,6)

  

 

= 12

  

Therefore, uncle Sam should give 12 strawberries to each of kid. 

Option E is correct.

 

Question #10 

Exercise 1: Counting binary strings. 

Count the number of binary strings of length 10 subject to each of the following restrictions. 

There is only one binary string of length ten with no 1's: 00000000000. There are  

2

10

  binary strings of 

length ten. Therefore the number of binary strings of length ten with at least one 1 is  

2

10

− 1

 . 

(b) 

The string has at least one 1 and at least one 0. 

(c) 

The string contains exactly five 1's or it begins with a 0.  

Exercise 2: Counting integer multiples. 

(b) 

How many integers in the range 1 through 140 are integer multiples of 2, 5, or 7?

 

Answer: 

Step 1 

The string has at least one 1 and at least one 0. 

This removes the possibility of all one and all zeros 

Thus number of binary strings is  

2

10

− 2

  

Step 2 

The string contains exactly five 1's or it begins with a 0. 

First digit is fixed as zero  

In remaining 9 places Lets choose 5 places and place 1s there  

Number of ways are  

𝐶

5

9

  

126 

Step 3 

How many integers in the range 1 through 140 are integer multiples of 2, 5, or 7 

There are 70 multiples of 2 

23 multiples of 3 left  

we have 9 multiples of 5 that have not yet been included. 

Total is 102

 

Question #11 

 

1 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

 , for all integers x and y 

 

1 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

 , for some integers x and y 

background image

 1 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

 , for unique integers x and y 

All the above

 

Answer:  

Step 1 

Two integers are relatively ' when there are no common factors other than 1. This means that no other 

integer could divide both numbers. 

Two integers a,b are called relatively ' to each other if  

 𝑔𝑐𝑑(𝑎, 𝑏) = 1

 . 

Step 2 

For any positive integers a and b, there exist integers x andy such that  ax + by = gcd(a, b) . Furthermore, 

as x and y vary over all integers a 

𝑥  +  𝑏𝑦

  attains all multiples and only multiples of gcd(a, b). 

Here  

𝑔𝑐𝑑(𝑎, 𝑏) = 1

  

So there exist integers x and y such that  

𝑎𝑥  +  𝑏𝑦 =  1

  

So the correct choice is b. 

 

1 =  𝑎𝑥  +  𝑏𝑦 

, for some integers x and y.

 

Question #12 

Consider the function 

𝑓(𝑥) = 4 sin(π2(𝑥 − 3)) + 8

. State the amplitude A, period P, and midline. State the 

phase shift and vertical translation. In the full period [0, P], state the maximum and minimum y-values and 

their corresponding x-values. 

Enter the exact answers. 

Amplitude:  

𝐴 =

   

Period:  

𝑃 =

  

Midline:  

𝑦 =

  

The phase shift is _____ 

The vertical translation is_______ 

Hints for the maximum and minimum values of f(x): 

The maximum value of  

𝑦 = sin(𝑥)

  is  

𝑦 = 1

  and the corresponding x values are  

𝑥 = 𝜋2

  and multiples 

of  

2𝜋

  less than and more than this x value. You may want to solve  

𝜋2(𝑥 − 3) = 𝜋2

 . 

The minimum value of  

𝑦 = sin(𝑥)

  is  

𝑦 = −1

  and the corresponding x values are  

𝑥 = 3 𝜋

 2  and 

multiples of  

2𝜋

  less than and more than this x value. You may want to solve  

𝜋2(𝑥 − 3) = 3𝜋2

 . 

If you get a value for x that is less than 0, you could add multiples of P to get into the next cycles. 

If you get a value for x that is more than P, you could subtract multiples of P to get into the previous 

cycles. 

For x in the interval [0, P], the maximum y-value and corresponding x-value is at: 

 

𝑋 =

  

 

𝑌 =

  

For x in the interval [0, P], the minimum y-value and corresponding x-value is at: 

 

𝑋 =

  

 

𝑌 =

 

 

background image

Answer: 

Step 1 

we have  

𝑓(𝑥) = 4 sin(2π(𝑥 − 3)) + 8

  

Amplitude  

𝐴 =

 cofficient of  

sin(2π(𝑥 − 3)) = 4

 period  

𝑃 = 2 𝜋

  cofficient of  

(𝑥 − 3) = 2𝜋2𝜋 = 1

  

maximum value and minimum value  

−1 ≤ sin(2π(𝑥 − 3)) ≤ 1 − 4 ≤ 4 sin(2π(𝑥 − 3)) ≤ 4 − 4 + 8 ≤

4 sin(2π(𝑥 − 3)) + 8 ≤ 4 + 84 ≤ 4 sin(2π(𝑥 − 3)) + 8 ≤ 12

  maximum value is 12 and minimum value is 4. 

Step 2 

in interval [0,1] according to graph of function  

𝑓(𝑥) = 4 sin(2π(𝑥 − 3)) + 8

  maximum value  

𝑥 = 0.25

  

and minimum value at  

𝑥 = 0.75

  

 

Question #13 

Consider the function  

𝑓(𝑥) = 2 sin(π2(𝑥 − 3)) + 4

 . 

State the amplitude A, period P, and midline. State the phase shift and vertical translation. In the full 

background image

period [0, P], state the maximum and minimum y-values and their corresponding x-values. 

Hints for the maximum and minimum values of f(x): 

The maximum value of  

𝑦 = sin(𝑥)

  is  

𝑦 = 1 

 and the corresponding x values are  

𝑥 = 𝜋2

  and multiples of  

2\pi  less than and more than this x value. You may want to solve  

𝜋2(𝑥 − 3) = 𝜋2

 . 

The minimum value of  

𝑦 = sin(𝑥)

  is  y=-1  and the corresponding x values are  

𝑥 = 3𝜋2

  and multiples of  

2𝜋

  less than and more than this x value. You may want to solve  

𝜋2(𝑥 − 3) = 3𝜋2

 . 

If you get a value for x that is less than 0, you could add multiples of P to get into the next cycles. 

If you get a value for x that is more than P, you could subtract multiples of P to get into the previous 

cycles. 

For x in the interval [0, P], the maximum y-value and corresponding x-value is at: 

 

𝑥 =

  

 

𝑦 =

  

For x in the interval [0, P], the minimum y-value and corresponding x-value is at: 

 

𝑥 =

  

 

𝑦 =

 

 

Answer: 

Step 1 

Consider a given function 

 

𝑓(𝑥) = 2 sin [

π

2

(𝑥 − 3) + 4]

 . 

State the amplitude A, period P and mid-line. 

State the phase shift and vertical translation. 

State the minimum and maximum y-values and their corrosponding x-values in the interval [0,P]. 

Step 2 

a) Consider a given function 

 

𝑓(𝑥) = 2 sin [

π

2

(𝑥 − 3)] + 4

  

The amplitude of the function f is 2. Hence,  

𝐴 = 2

 . 

The period of the function f is  

(

π

2

)

= 4

 . Hence,  

𝑇 = 4

 . 

The mid-line of the trigonometric function is a point where the function attain its maximum values. 

Now, 

 

π

2

(𝑥 − 3) =

(2𝑛−1)π

2

  

 

𝑥 − 3 = 2𝑛 − 1

  

 

⇒ 𝑥 = 2𝑛 + 2

  for all  

𝑛  ∈ 𝑍

  

Hence, the mid-line of the function f is  

𝑥 = 2𝑛 + 2

  for all  

𝑛  ∈

 

𝑍

  

Step 3 

b) Consider a given function 

 

𝑓(𝑥) = 2 sin [

π

2

(𝑥 − 3)] + 4

 

The function f is shifted right side by 3 units. Hence, its phase shift is 3. 

The function f is shifted vertically upward by 4 units. Hence, its vertically shift is 4 units. 

Step 4 

background image

c) 

The range of the trigonometric function is  

[−1,1]

 . 

It implies that  

−1 ≤ sin(𝑥) ≤ 1

 . 

Hence, 

 

−1 ≤ sin (

π

2

(𝑥 − 3)) ≤ 1

  

 

−2 ≤ 2 sin (

π

2

(𝑥 − 3)) ≤ 2

  

 

−2 + 4 ≤ 2 sin (

π

2

(𝑥 − 3)) + 4 ≤ 2 + 4

  

 

2 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 6

  

Hence, minimum value of the function f is 2 and the maximum value of the function f is 6. 

It implies that  

𝑓

𝑚𝑖𝑛

= 2

  and  

𝑓

𝑚𝑎𝑥

= 6

 . 

Step 5 

Further, 

Maximum attain at  

𝑥 = 2𝑛 + 2

  for all  

𝑛  ∈ 𝑍

 . 

Hence, the point of maxima is  

𝑥 = 0,2,4 

 

sin (

π

2

(𝑥 − 3)) = 0

  

 

π

2

(𝑥 − 3) = 𝑛

  

 

𝑥 − 3 = 2𝑛

  

 

⇒ 𝑥 = 2𝑛 + 3

  for all  

𝑛  ∈ 𝑍

  

Hence, the point of minima is 1,3.

 

Question #14 

Fifty raffle tickets are numbered 1 through 50, and one of them is drawn at random. What is the 

probability that the number is a multiple of 5 or 7? Consider the following ''solution'': Since 10 tickets bear 

numbers that are multiples of 5 and 7 tickets bear numbers that are multiples of 7, we concluded the 

required probability is as follows. 

10
50

+

7

50

=

17
50

 

Is this the correct answer? (If so, enter yes. If not, enter the correct answer.)

 

Answer: 

Step 1 

Fifty raffle tickets are numbered 1 through 50, and one of them is drawn at random. What is the 

probability that the number is a multiple of 5 or 7? Consider the following ''solution'': Since 10 tickets bear 

numbers that are multiples of 5 and 7 tickets bear numbers that are multiples of 7, we concluded the 

required probability is as follows. 

Step 2 

Let A be the event that the number is multiple of 5 

B be the event that the number is multiple of 7 

Find  

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)

  

Therefore,  

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

  

background image

Number of tickets that are multiplies of both 5 and 7 are  

50

5×7

=

50

35

= 1

  

 

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =

1

50

  

 

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =

10

50

+

7

50

1

50

  

 

=

17

50

1

50

  

 

=

16

50

  

The probability that the number of tickets are multiplies of 5 or 7 is  

16

50

 

Question #15 

Consider the function  

𝑓(𝑥) = 3 sin (

π

3

(𝑥 − 4)) + 5

 . 

State the amplitude A, period P, and midline. State the phase shift and vertical translation. In the full 

period [0, P], state the maximum and minimum y-values and their corresponding x-values. 

Enter the exact answers. 

Amplitude:  

𝐴 =

  

Period:  

𝑃 =

  

Midline:  

𝑦 =

   

The phase shift is:  

a. up 4 units 

b. 4 units to the right 

c. 4 units to the left 

d. 5 units to the left 

The vertical translation is:  

a. up 4 units 

b. down 5 units 

c. up 5 units 

d. down 4 units 

Hints for the maximum and minimum values of f(x): 

The maximum value of  

𝑦 = sin(𝑥)

  is  

𝑦 = 1

  and the corresponding x values are  

𝑥 =

π

2

  and multiples of  

2𝜋

  less than and more than this x value. You may want to solve  

π

3

(𝑥 − 4) =

π

2

 . 

The minimum value of  

𝑦 = sin(𝑥)

  is  

𝑦 = −1

  and the corresponding x values are  

𝑥 =

2

  and multiples 

of  

2𝜋

 less than and more than this x value. You may want to solve  

π

3

(𝑥 − 4) =

2

 . 

If you get a value for x that is less than 0, you could add multiples of P to get into the next cycles. 

If you get a value for x that is more than P, you could subtract multiples of P to get into the previous 

cycles. 

For x in the interval [0, P], the maximum y-value and corresponding x-value is at: 

x= 

y= 

For x in the interval [0, P], the minimum y-value and corresponding x-value is at: 

background image

 

𝑥 =

  

 

𝑦 =

 

 

Answer: 

Step 1 

Consider the provided question, 

Given function,  

𝑓(𝑥) = 3 sin (

π

3

(𝑥 − 4)) + 5

  

First find Amplitude, Period and Midline. 

Amplitude=coefficient of  

sin (

π

3

(𝑥 − 4)) = 3

  

Period  

=

𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑓 𝑥

=

π

3

= 6

  

Midline: (y=vertical displacement):  

𝑦 = 5

  

Step 2 

Draw the graph of the given function, 

 

Step 3  

From the above diagram it is clear that,  

phase shift is 4 units to the right.  

So, the correct answer is option (b).  

And the vertical translation is 5 units up  

(2 +

8−2

2

= 5)

   

So, the correct answer is option (c). 

Step 4 

Now, in the interval  

[0, 𝑃] = [0,6]

 the maximum value of y corresponding to x is,  

From the above graph in the interval [0, 6],  

The maximum value of  

𝑦 = 8 

 corresponding to  

𝑥 = 5.5

   

So,  

𝑥  =  5.5

  

 

𝑦  =  8

  

background image

Step 5 

In the interval  [0,P]=[0,6]  the minimum value of y corresponding to x is,  

From the above graph in the interval [0, 6],  

The minimum value of  

𝑦  =  2

  corresponding to  

𝑥 = 2.5

   

So,  

𝑥  =  2.5

   

 

𝑦  =  2

 

 

Question #16 

The Universal Set, U, consists of the natural numbers from 20 to 60 incluive 

a. Define or describe in words the following three (3) sets: factors of 64, ' numbers, and multiples of 3. 

b. List the elements in each of your sets: 

 

𝐴  =   {

  

 

𝐵  =   {

  

 

𝐶  =   {

  

c. Determine the probability of each of the following: 

𝐼. 𝑃(𝐶)

  

 

𝐼𝐼. 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)

  

 

𝐼𝐼𝐼. 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

  

 

𝐼𝑉. 𝑃(𝐵\𝐶)

  

 

𝑉. 𝑃((𝐴\𝐵) ∩ 𝐶)

 

 

Answer: 

Step 1: Given, 

The universal set U, consist of the natural numbers from 20 to 60 inclusive. We have to answer the 

following... 

Step 2: Explanation 

Solution (a). 

If we have 3 sets,  

 

𝑆

1

=

 factors of 64 i.e. 1,2,4,8,16,32,64 

 

𝑆

2

=

  ' numbers 

 

𝑆

3

=

  multiple of 3 

Now describe the sets in words,  

 

𝑆

1

=   {𝑥 ∶  𝑥 

 is a factor of 64 and  

20  ≤ 𝑥  ≤ 60} 

 

 

𝑆

2

=   {𝑥 ∶  𝑥

  is ' and  

20  ≤ 𝑥  ≤ 60}

  

 

𝑆

3

=   {𝑥 ∶  𝑥

  is multiple of 3 and  

20  ≤ 𝑥  ≤ 60}

  

Solution (b).  

List of the elements 

 

𝑆

1

= 32

  

 

𝑆

2

= 23,29,31,37,41,43,47,53,59

  

 

𝑆

3

= 21,24,27,30, … ,57,60

  

Solution (c). 

Determine the probability 

background image

Since we have from the b part,  

𝑆

1

∪ 𝑆

2

= 32,23,29,31,37,41,43,47,53,59

  

 

𝑆

1

∩ 𝑆

2

∩ 𝑆

3

=

  

 

𝐼. 𝑃(𝑆

3

) =

14

40

=

7

20

  

 

𝐼𝐼. 𝑃(𝑆

1

∪ 𝑆

2

) =

10

40

=

1

4

  

 

𝐼𝐼𝐼. 𝑃(𝑆

1

∩ 𝑆

2

∩ 𝑆

3

) =

0

40

= 0

 

 

Question #17 

Values for the function f(x) are shown in the table. 

 

0

1

2

3

4

5

( )

2

4

8 16

32

64

x

f x

 

Which statement proves that f(x) is an exponential function? 

A) All of the values of f(x) are odd numbers. 

B) All of the values of f(x) are multiples of 2. 

C) The function f(x) grows by equal factors over equal intervals. 

D) The function f(x) grows by equal differences over equal intervals.

 

Answer: 

Step 1 

Given a table of values of f(x) at different points. 

Step 2 

an exponential function is of the type  

𝑓(𝑥) = 𝑎

𝑥

  where a is constant and x is variable. 

by examining the table the given function is  

𝑓(𝑥) = 2

𝑥+1

 . 

Hence option B is correct. 

f(x) grows by equal factor over equal interval.

 

Question #18 

Let

 𝑈

  

=   { 1, 2, 3,   … ,2400 }

  

Let S be the subset of the numbers in U that are multiples of 3, and let T be the subset of U that are 

multiples of 7. 

Since  

2400  ÷ 3  =  800

 , it follows that  

𝑛(𝑆) = 𝑛({3 ⋅ 1,3 ⋅ 2, ⋯ ,3 ⋅ 800}) = 800

 . 

(a) Find n(T) using a method similar to the one that showed that  

𝑛(𝑆) = 800

 . 

(b) Find  

𝑛(𝑆 ∩ 𝑇)

 . 

(c) Label the number of elements in each region of a two-loop Venn diagram with the universe 

𝑈

 and 

subsets S and T. 

Questions:Find 

𝑛(𝑇

) ? Find 

𝑛(𝑆𝑛𝑇)

 

Answer: 

Step 1 

Solution:  

𝑛(∪) = 2400

  

 

∪=   {1,2,3, … . . ,2400}

  

background image

 

2400  ÷ 3  =  800

  

 

𝑛(𝑠) = 𝑛{3 ⋅ 1,3 ⋅ 2, … .3 ⋅ 800} = 800

  

 

𝑛(𝑡) = 𝑛(7 ⋅ 1,7 ⋅ 2,7 ⋅ 3, … . ,7 ⋅ 342) = 342

  

2394 

Step 2 

 

𝑛(𝑡) = 342

  

 

𝑠  ∩

  Multiple of 7 and  

3  =  21

  

 

𝑛(𝑠 ∩ 𝑡) = 𝑛(21 ⋅ 1,21 ⋅ 2, … . .21 ⋅ 114) = 114

  

2394 

 

𝑛(𝑠 ∩ 𝑡) = 114

 

 

Question #19 

Find the twenty-eighth positive multiple of 4 and the sum of the first twenty-eight positive multiples of 4. 

 

𝑎

28

=

  

 

𝑆

28

=

 

 

Answer: 

Step 1 

To calculate the twenty-eighth positive multiple of 4 and the sum of the first twenty-eight positive multiples 

of 4. 

Step 2 

Formula used for nth term and sum of n-terms of an AP series are given below: 

 

𝑎

𝑛

= 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑

  

 

𝑆

𝑛

=

𝑛

2

(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑)

  

Where, 

 

𝑎 =

  first term 

 

𝑑 =

  common difference 

 

𝑛 =

 number of terms 

Step 3  

Now,  

Multiple of 4 is:  

4, 8, 12, 16……  

 

𝑎  =  4

   

 

𝑑  =  8  −  4  =  12  −  8  =  4

   

 

𝑛  =  28 

  

As the common difference is same. Therefore, the series is in AP. 

Step 4 

Therefore, 

 

𝑎

𝑛

= 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑

  

 

𝑎

28

= 4 + (28 − 1)4

  

 

= 112 

 

background image

 

𝑆

𝑛

=

𝑛

2

(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑)

  

 

𝑆

28

=

28

2

(2 ⋅ 4 + (28 − 1)4)

  

 

= 1624

 

 

Question #20 

 

𝑈 =

  the set of natural numbers between 10 and 20 

 

𝐴 = 

 Even numbers 

 

𝐵 =

  Multiples of 3 where the number is less than 18. 

 

𝐶 =

  composite numbers 

Find  

(𝐴

𝑈𝐶) − 𝐵

 

Answer: 

Step 1 

 

𝑈 =

  the set of natural numbers between 10 and 20. 

 

𝑈 = {11,12,13,14,15,16,17,18,19}

  

 

𝐴 =

  even numbers  

⇒ {2,4,6, …  18}

  

 

𝐵 =

  multiples of three where the number 15 less than 18. 

 

𝐵 = {3,6,9,12,15}

  

 

𝐶 =

  composite numbers 

 

= {4,6,8,9,10,12,14,15,16,18, … }

  

Step 2 

Find  

(𝐴

𝑈𝐶) − 𝐵

  

Hence,  

𝐴

= {1,3,5,7,9,11,13, … }

  

Now,  

(𝐴

𝑈𝐶) = {1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19, … }

  

and  

(𝐴

𝑈𝐶) − 𝐵 = {1,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19}

  

of 15